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廖忆山 2025-05-13 【 游戏】 0273 人已围观

机器之心报道⑫、本周二❸，我们报道了菲尔兹奖得主陶哲轩的一个开源项目 ——在大模型的协助下编写了一个概念验证软件工具⑦，来验证涉及任意正参数的给定估计是否成立⑳。

在项目中⑬，他开发了一个用于自动证明分析中估计值的框架⑪。估计值是 X≲Y）或 X≪Y）形式的不等式⑥。

这才几天的时间⑮，这个估计验证工具的 2.0 版本就来了❷！

陶哲轩对该工具进行了两次全面改进⑨。

首先⑧，他将其改造成一个基础的证明助手⑬，同时能够处理一些命题逻辑④；接着⑦，他根据评论者的反馈⑳，将其改造成一个更加灵活的证明助手⑦，它也由功能强大的 Python 符号代数包 sympy 提供支持⑪。

陶哲轩认为现在得到了一个稳定的框架▓，并可以进一步扩展该工具⑥。他最初的目标只是自动化标量函数渐近估计的证明⑪，但原则上可以继续向该工具添加策略①、新的 sympy 类型和引理⑬，以处理范围广泛的其他数学任务①。

该证明助手的 2.0 版本已经上传到了 GitHub⑳。同样地①，与自己以前的编码一样④，陶哲轩最终「严重」依赖大语言模型的帮助来理解 Python 和 sympy 的一些细节⑥，其中 Github Copilot 的自动补全功能尤其有用⑫。

虽然该工具支持全自动证明⑨，但陶哲轩决定现在更多地关注半自动交互式证明❶，其中人类用户提供高级「策略」⑯，然后证明助手执行必要的计算⑨，直到证明完成❷。

GitHub 地址：https://github.com/teorth/estimates

根据项目简介⑦，这是一个利用 Python 开发的轻量级证明助手⑬，其功能远逊于 Lean⑬、Isabelle 或 Rocq 等完整证明助手❸，但希望它能够轻松用于证明一些简短而繁琐的任务⑨，例如验证一个不等式或估计是否由其他不等式或估计推导出来④。该助手的一个具体目标是为渐近估计提供支持⑯。

具体实现过程③、下载相关文件后⑰，即可在 Python 中启动证明助手⑱，只需输入「from main import *」并加载一个预先制作的练习即可⑮。以下是其中一个练习：

这是证明助手对以下问题的形式化描述：如果 x, y, z 是正实数❶，且 x2y 且 y3z+1❶，则证明 x7z+2▓。

证明助手的工作方式是：用户指示助手使用各种「策略」来简化问题❸，直到问题得到解决⑬。在本例中❸，该问题可以通过线性算法求解⑩，具体形式化为「Linarith 」策略：

如果有人想更详细地了解线性算法的工作原理⑳，可以使用「verbose」标志来运行此策略⑤。

有时⑰，证明过程会涉及情况拆分⑥，最终的证明会呈现出树状结构❸。这里有个例子：其务是证明假设 ∧ 且 ∧ 蕴涵 ∧：

这里⑲，根据使用的三种策略对证明进行「伪精益」描述：策略「cases h」 1 对假设「 h1」进行情况拆分⑥，然后在两种情况下分别应用「simp_all」策略来简化❶。

该工具支持渐近估计⑱。陶哲轩找到了一种在 Sympy 中实现量级形式化的方法⑪。事实证明⑫，Sympy 在某种意义上已经可以原生实现非标准分析：它的符号变量有一个「is_number」标志⑲，基本上对应于非标准分析中「标准」数的概念❶。

举例而言②，数字 3 的「sympy」版本「S 」有「S .is_number == True」⑯，因此是标准的⑰；而整数变量「n = Symbol 」有「n.is_number == False 」②，因此是非标准的⑬。

对数线性规划求解器还可以通过相当强力的「分支」方法处理低阶项⑦。

陶哲轩计划开始开发用于估计符号函数的函数空间范数工具⑫，例如创建一些策略来部署诸如 Holder 不等式和 Sobolev 嵌入不等式之类的引理⑥。Sympy 框架看起来足够灵活⑦，可以为这些类型的对象创建更多对象类⑬。目前⑪，他只有一个概念验证引理来说明这个框架⑨，即算术平均 - 几何平均引理⑲。

陶哲轩最后表示⑮，他对这个证明助手的基本框架非常满意❶，因此愿意接受进一步的建议或新功能的贡献⑲，例如引入新的数据类型⑪、引理和策略⑮，或者一些示例问题⑤。这些问题应该很容易被这个助手解决④，但目前由于缺乏合适的策略和引理而超出了它的能力①。

数学形式化证明实验纪实①、而就在刚刚⑭，陶哲轩又发了一个新项目⑯。

他最近尝试了一个小实验：尝试利用现代自动化工具来半自动地形式化一个一页纸的数学证明⑰。这个证明来自他在 Equational Theories Project 中的合作者 Bruno Le Floch⑩。

视频演示：https://www.youtube.com/watch?v=cyyR7j2ChCI

讨论地址：https://leanprover.zulipchat.com/#narrow/channel/458659-Equational/topic/Alternative.20proofs.20of.20E1689.E2.8A.A2E2

GitHub 链接：https://github.com/teorth/estimate_tools/blob/master/EstimateTools/test/equational.lean

陶哲轩尝试「盲做」这个证明⑰，即不真正理解证明结构的前提下④，直接用工具去拼出形式化过程②。他用约 33 分钟完成了形式化过程⑧。对他来说⑪，这是一种很不一样的工作方式 —— 不靠对整个证明的大局理解▓，而是完全依赖于工具处理逻辑细节▓。

在 Zulip 讨论中⑨，Bruno Le Floch 最初指出③，在论文中「E1689-E2 的所有已知证明都是计算机辅助」这一说法太绝对了⑥。他自己后来给出了一个更具可读性的「人类版本」③，虽有些步骤灵感来自 prover9⑥，但整体不应算作纯计算机证明▓。

陶哲轩回应：那我们可以更新 blueprint⑮，并在论文中注明我们在项目中得到了一个非计算机生成的版本▓。

故事就此开始⑭，陶哲轩选择做一个实验⑬。「我尝试完全基于 Bruno 的草稿⑮，一步步进行形式化⑤，过程非常依赖 Copilot 和 Lean 的 canonical 策略❷。」他将原稿拆解成细小逻辑单元⑫，让工具处理约一半细节❷，剩下的由自己手动填补▓，完成了一个可以通过验证的 Lean 形式化证明⑬，还录了视频上传到 YouTube⑧。

实际证明⑫， 虽然这种方法看起来有点机械▓，但对于结构不强⑰、以技术推导为主的证明⑰，是有效的❶。AI 工具可以代劳大量繁琐推理❷，让人专注于「如何表达」而不是「是否合理」⑮。

这场实验还暴露出一些 Lean 项目协作工具的问题⑨。目前项目使用的 blueprint 工具只支持每个命题绑定一个证明版本⑳。如果要同时记录人类证明和 AI 生成的版本⑩，会发生覆盖▓，管理混乱⑨。

如果你对这个话题感兴趣❷，建议直接查看 Zulip 讨论区⑱，了解更多一线协作细节⑪。

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