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吴冰露 2025-05-13 【 体育】 5314 人已围观

机器之心报道②、本周二①，我们报道了菲尔兹奖得主陶哲轩的一个开源项目 ——在大模型的协助下编写了一个概念验证软件工具⑫，来验证涉及任意正参数的给定估计是否成立⑭。

在项目中❸，他开发了一个用于自动证明分析中估计值的框架⑥。估计值是 X≲Y）或 X≪Y）形式的不等式⑯。

这才几天的时间⑭，这个估计验证工具的 2.0 版本就来了⑱！

陶哲轩对该工具进行了两次全面改进❶。

首先⑬，他将其改造成一个基础的证明助手②，同时能够处理一些命题逻辑①；接着⑩，他根据评论者的反馈▓，将其改造成一个更加灵活的证明助手⑥，它也由功能强大的 Python 符号代数包 sympy 提供支持⑱。

陶哲轩认为现在得到了一个稳定的框架❸，并可以进一步扩展该工具⑧。他最初的目标只是自动化标量函数渐近估计的证明⑮，但原则上可以继续向该工具添加策略⑭、新的 sympy 类型和引理⑪，以处理范围广泛的其他数学任务❶。

该证明助手的 2.0 版本已经上传到了 GitHub⑪。同样地❷，与自己以前的编码一样③，陶哲轩最终「严重」依赖大语言模型的帮助来理解 Python 和 sympy 的一些细节⑤，其中 Github Copilot 的自动补全功能尤其有用⑳。

虽然该工具支持全自动证明⑰，但陶哲轩决定现在更多地关注半自动交互式证明⑨，其中人类用户提供高级「策略」▓，然后证明助手执行必要的计算⑪，直到证明完成⑬。

GitHub 地址：https://github.com/teorth/estimates

根据项目简介③，这是一个利用 Python 开发的轻量级证明助手⑪，其功能远逊于 Lean⑥、Isabelle 或 Rocq 等完整证明助手③，但希望它能够轻松用于证明一些简短而繁琐的任务⑦，例如验证一个不等式或估计是否由其他不等式或估计推导出来⑮。该助手的一个具体目标是为渐近估计提供支持⑥。

具体实现过程⑳、下载相关文件后⑥，即可在 Python 中启动证明助手▓，只需输入「from main import *」并加载一个预先制作的练习即可⑭。以下是其中一个练习：

这是证明助手对以下问题的形式化描述：如果 x, y, z 是正实数⑯，且 x2y 且 y3z+1▓，则证明 x7z+2⑪。

证明助手的工作方式是：用户指示助手使用各种「策略」来简化问题⑦，直到问题得到解决⑦。在本例中④，该问题可以通过线性算法求解⑭，具体形式化为「Linarith 」策略：

如果有人想更详细地了解线性算法的工作原理⑩，可以使用「verbose」标志来运行此策略⑬。

有时⑰，证明过程会涉及情况拆分⑱，最终的证明会呈现出树状结构⑩。这里有个例子：其务是证明假设 ∧ 且 ∧ 蕴涵 ∧：

这里⑬，根据使用的三种策略对证明进行「伪精益」描述：策略「cases h」 1 对假设「 h1」进行情况拆分⑮，然后在两种情况下分别应用「simp_all」策略来简化❸。

该工具支持渐近估计④。陶哲轩找到了一种在 Sympy 中实现量级形式化的方法⑥。事实证明⑭，Sympy 在某种意义上已经可以原生实现非标准分析：它的符号变量有一个「is_number」标志⑩，基本上对应于非标准分析中「标准」数的概念❶。

举例而言③，数字 3 的「sympy」版本「S 」有「S .is_number == True」⑮，因此是标准的❶；而整数变量「n = Symbol 」有「n.is_number == False 」⑩，因此是非标准的⑨。

对数线性规划求解器还可以通过相当强力的「分支」方法处理低阶项⑧。

陶哲轩计划开始开发用于估计符号函数的函数空间范数工具⑫，例如创建一些策略来部署诸如 Holder 不等式和 Sobolev 嵌入不等式之类的引理⑪。Sympy 框架看起来足够灵活⑬，可以为这些类型的对象创建更多对象类⑤。目前⑩，他只有一个概念验证引理来说明这个框架⑰，即算术平均 - 几何平均引理❸。

陶哲轩最后表示⑱，他对这个证明助手的基本框架非常满意④，因此愿意接受进一步的建议或新功能的贡献⑨，例如引入新的数据类型▓、引理和策略②，或者一些示例问题⑮。这些问题应该很容易被这个助手解决⑯，但目前由于缺乏合适的策略和引理而超出了它的能力⑬。

数学形式化证明实验纪实❶、而就在刚刚⑱，陶哲轩又发了一个新项目⑭。

他最近尝试了一个小实验：尝试利用现代自动化工具来半自动地形式化一个一页纸的数学证明⑲。这个证明来自他在 Equational Theories Project 中的合作者 Bruno Le Floch⑰。

视频演示：https://www.youtube.com/watch?v=cyyR7j2ChCI

讨论地址：https://leanprover.zulipchat.com/#narrow/channel/458659-Equational/topic/Alternative.20proofs.20of.20E1689.E2.8A.A2E2

GitHub 链接：https://github.com/teorth/estimate_tools/blob/master/EstimateTools/test/equational.lean

陶哲轩尝试「盲做」这个证明③，即不真正理解证明结构的前提下④，直接用工具去拼出形式化过程⑪。他用约 33 分钟完成了形式化过程⑥。对他来说⑮，这是一种很不一样的工作方式 —— 不靠对整个证明的大局理解▓，而是完全依赖于工具处理逻辑细节⑪。

在 Zulip 讨论中⑦，Bruno Le Floch 最初指出①，在论文中「E1689-E2 的所有已知证明都是计算机辅助」这一说法太绝对了⑧。他自己后来给出了一个更具可读性的「人类版本」⑮，虽有些步骤灵感来自 prover9⑬，但整体不应算作纯计算机证明⑬。

陶哲轩回应：那我们可以更新 blueprint⑪，并在论文中注明我们在项目中得到了一个非计算机生成的版本①。

故事就此开始④，陶哲轩选择做一个实验⑩。「我尝试完全基于 Bruno 的草稿❶，一步步进行形式化③，过程非常依赖 Copilot 和 Lean 的 canonical 策略⑮。」他将原稿拆解成细小逻辑单元⑦，让工具处理约一半细节⑯，剩下的由自己手动填补⑮，完成了一个可以通过验证的 Lean 形式化证明④，还录了视频上传到 YouTube⑪。

实际证明⑧， 虽然这种方法看起来有点机械⑨，但对于结构不强⑪、以技术推导为主的证明⑥，是有效的①。AI 工具可以代劳大量繁琐推理❶，让人专注于「如何表达」而不是「是否合理」⑭。

这场实验还暴露出一些 Lean 项目协作工具的问题⑦。目前项目使用的 blueprint 工具只支持每个命题绑定一个证明版本⑲。如果要同时记录人类证明和 AI 生成的版本④，会发生覆盖⑬，管理混乱⑤。

如果你对这个话题感兴趣❶，建议直接查看 Zulip 讨论区①，了解更多一线协作细节②。

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