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陆小凡 2025-05-13 【世界足球】 3742 人已围观

机器之心报道⑭、本周二⑪，我们报道了菲尔兹奖得主陶哲轩的一个开源项目 ——在大模型的协助下编写了一个概念验证软件工具⑫，来验证涉及任意正参数的给定估计是否成立⑬。

在项目中❶，他开发了一个用于自动证明分析中估计值的框架❷。估计值是 X≲Y）或 X≪Y）形式的不等式③。

这才几天的时间⑧，这个估计验证工具的 2.0 版本就来了⑩！

陶哲轩对该工具进行了两次全面改进⑤。

首先⑫，他将其改造成一个基础的证明助手④，同时能够处理一些命题逻辑⑨；接着⑦，他根据评论者的反馈⑨，将其改造成一个更加灵活的证明助手⑤，它也由功能强大的 Python 符号代数包 sympy 提供支持⑩。

陶哲轩认为现在得到了一个稳定的框架②，并可以进一步扩展该工具⑳。他最初的目标只是自动化标量函数渐近估计的证明⑲，但原则上可以继续向该工具添加策略❷、新的 sympy 类型和引理⑦，以处理范围广泛的其他数学任务⑲。

该证明助手的 2.0 版本已经上传到了 GitHub⑯。同样地⑮，与自己以前的编码一样⑦，陶哲轩最终「严重」依赖大语言模型的帮助来理解 Python 和 sympy 的一些细节②，其中 Github Copilot 的自动补全功能尤其有用①。

虽然该工具支持全自动证明⑯，但陶哲轩决定现在更多地关注半自动交互式证明⑪，其中人类用户提供高级「策略」④，然后证明助手执行必要的计算⑧，直到证明完成②。

GitHub 地址：https://github.com/teorth/estimates

根据项目简介▓，这是一个利用 Python 开发的轻量级证明助手⑨，其功能远逊于 Lean⑮、Isabelle 或 Rocq 等完整证明助手▓，但希望它能够轻松用于证明一些简短而繁琐的任务❸，例如验证一个不等式或估计是否由其他不等式或估计推导出来❷。该助手的一个具体目标是为渐近估计提供支持⑤。

具体实现过程❷、下载相关文件后⑦，即可在 Python 中启动证明助手⑰，只需输入「from main import *」并加载一个预先制作的练习即可⑪。以下是其中一个练习：

这是证明助手对以下问题的形式化描述：如果 x, y, z 是正实数⑬，且 x2y 且 y3z+1⑰，则证明 x7z+2⑮。

证明助手的工作方式是：用户指示助手使用各种「策略」来简化问题⑧，直到问题得到解决⑥。在本例中⑰，该问题可以通过线性算法求解⑪，具体形式化为「Linarith 」策略：

如果有人想更详细地了解线性算法的工作原理❶，可以使用「verbose」标志来运行此策略②。

有时⑯，证明过程会涉及情况拆分①，最终的证明会呈现出树状结构⑨。这里有个例子：其务是证明假设 ∧ 且 ∧ 蕴涵 ∧：

这里⑮，根据使用的三种策略对证明进行「伪精益」描述：策略「cases h」 1 对假设「 h1」进行情况拆分⑪，然后在两种情况下分别应用「simp_all」策略来简化❸。

该工具支持渐近估计②。陶哲轩找到了一种在 Sympy 中实现量级形式化的方法⑤。事实证明⑬，Sympy 在某种意义上已经可以原生实现非标准分析：它的符号变量有一个「is_number」标志⑥，基本上对应于非标准分析中「标准」数的概念⑬。

举例而言⑳，数字 3 的「sympy」版本「S 」有「S .is_number == True」③，因此是标准的▓；而整数变量「n = Symbol 」有「n.is_number == False 」⑮，因此是非标准的❶。

对数线性规划求解器还可以通过相当强力的「分支」方法处理低阶项❷。

陶哲轩计划开始开发用于估计符号函数的函数空间范数工具④，例如创建一些策略来部署诸如 Holder 不等式和 Sobolev 嵌入不等式之类的引理②。Sympy 框架看起来足够灵活▓，可以为这些类型的对象创建更多对象类⑲。目前②，他只有一个概念验证引理来说明这个框架❷，即算术平均 - 几何平均引理⑭。

陶哲轩最后表示④，他对这个证明助手的基本框架非常满意④，因此愿意接受进一步的建议或新功能的贡献④，例如引入新的数据类型⑧、引理和策略⑰，或者一些示例问题⑲。这些问题应该很容易被这个助手解决❶，但目前由于缺乏合适的策略和引理而超出了它的能力❷。

数学形式化证明实验纪实⑬、而就在刚刚⑪，陶哲轩又发了一个新项目⑯。

他最近尝试了一个小实验：尝试利用现代自动化工具来半自动地形式化一个一页纸的数学证明⑪。这个证明来自他在 Equational Theories Project 中的合作者 Bruno Le Floch▓。

视频演示：https://www.youtube.com/watch?v=cyyR7j2ChCI

讨论地址：https://leanprover.zulipchat.com/#narrow/channel/458659-Equational/topic/Alternative.20proofs.20of.20E1689.E2.8A.A2E2

GitHub 链接：https://github.com/teorth/estimate_tools/blob/master/EstimateTools/test/equational.lean

陶哲轩尝试「盲做」这个证明⑳，即不真正理解证明结构的前提下⑩，直接用工具去拼出形式化过程⑨。他用约 33 分钟完成了形式化过程⑬。对他来说▓，这是一种很不一样的工作方式 —— 不靠对整个证明的大局理解⑫，而是完全依赖于工具处理逻辑细节④。

在 Zulip 讨论中⑩，Bruno Le Floch 最初指出❶，在论文中「E1689-E2 的所有已知证明都是计算机辅助」这一说法太绝对了⑲。他自己后来给出了一个更具可读性的「人类版本」❷，虽有些步骤灵感来自 prover9⑫，但整体不应算作纯计算机证明⑫。

陶哲轩回应：那我们可以更新 blueprint⑫，并在论文中注明我们在项目中得到了一个非计算机生成的版本⑭。

故事就此开始❸，陶哲轩选择做一个实验⑤。「我尝试完全基于 Bruno 的草稿❷，一步步进行形式化⑲，过程非常依赖 Copilot 和 Lean 的 canonical 策略❶。」他将原稿拆解成细小逻辑单元⑪，让工具处理约一半细节⑥，剩下的由自己手动填补⑧，完成了一个可以通过验证的 Lean 形式化证明④，还录了视频上传到 YouTube⑲。

实际证明❸， 虽然这种方法看起来有点机械⑮，但对于结构不强①、以技术推导为主的证明⑧，是有效的⑩。AI 工具可以代劳大量繁琐推理⑩，让人专注于「如何表达」而不是「是否合理」④。

这场实验还暴露出一些 Lean 项目协作工具的问题❸。目前项目使用的 blueprint 工具只支持每个命题绑定一个证明版本①。如果要同时记录人类证明和 AI 生成的版本⑧，会发生覆盖⑳，管理混乱⑪。

如果你对这个话题感兴趣❷，建议直接查看 Zulip 讨论区⑥，了解更多一线协作细节⑦。

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